Faut-il courir sous la pluie pour éviter d'être mouillé ?

Question qui peut paraître stupide a priori, car il est évident que si l'on reste sur place on va être trempé, alors que si on va à la vitesse de la lumière jusqu'à un abri, on va être très peu mouillé. Oui, mais chacun sait que si l'on va vite, on prend plus de gouttes dans la figure. Si l'on considère un trajet de longueur d à parcourir sous la pluie, y a-t-il une vitesse optimale pour parcourir ce trajet ?

On peut modéliser la pluie par des gouttes uniformément distribuées tombant verticalement à la vitesse V0 avec une densité de r gouttes par mètre cube. Le coureur sur la prom le mercredi 17 février sera modélisé par un parallèlepipède rectangle de dimensions h, L et l, animé d'un mouvement rectiligne uniforme horizontal de vitesse v. La largeur l n'ayant aucun rôle à jouer par la suite, on peut considérer que la figure en 2 dimensions ci-dessous résume la situation :



Pour calculer le nombre de gouttes reçues par unité de temps, il est plus simple de changer de référentiel pour se placer dans celui du coureur. Dans son propre référentiel, il a une vitesse nulle et reçoit des gouttes animées de la vitesse U=V0-v (somme vectorielle). En une unité de temps, le coureur reçoit sur la tête toutes les gouttes contenues dans le volume de largeur l basé sur le parallèlogramme ABEF.



L'aire du parallèlogramme ABEF est L*U*sin(ABE), où U est la norme du vecteur U. Mais l'angle ABE est égal à l'angle formé par les vecteurs U et -v. Le triangle d'addition des vitesses nous montre que le sinus de cet angle vaut V0/U. Le coureur reçoit donc par unité de temps :

dN1/dt=r*l*L*V0

gouttes sur la tête. De même, pour trouver le nombre de gouttes reçues de face, il faut calculer l'aire de ACGF. Comme le sinus de l'angle ACG est égal à v/U, on trouve :

dN2/dt= r*l*h*v

La durée totale du parcours étant de d/v, le nombre de gouttes reçues au total est N=N1+N2, soit :

N= r*l*d*(h+L*V0/v)

On remarque que N1 est indépendant de la vitesse du coureur. C'est le nombre de gouttes contenues dans le volume décrit dans l'espace par la face avant du coureur. En revanche le nombre N2 de gouttes prises sur la tête est inversement proportionel à la vitesse v. Au final, la fonction N(v) est strictement décroissante, et tend vers r*l*d*h. Il est donc préférable de courir le plus vite possible. Si on prend une vitesse v'>v, le gain relatif est de (N(v)-N(v'))/N(v). Il ne dépend que du rapport L/h et de la vitesse verticale de la pluie, V0. En estimant ces deux paramètres à 1/8 et 10 m/s, on trouve un gain relatif de 30% environ pour une course à la vitesse de 4 m/s par rapport à une marche de 1.5 m/s.

Tout ceci est valable pour une pluie verticale, c'est-à-dire par vent nul. Mais que se passe-t-il en présence de vent ? Notons V0 la composante verticale du vent, et Vh la composante horizontale. Les calculs précédents de dN1/dt et dN2/dt restent valables à condition de remplacer la vitesse v par v-Vh. En revanche, le temps de parcours reste toujours égal à d/v. On obtient donc dans ce cas :

N= r*l*d*(h* ||v-Vh||+L*V0)/v

Il se présente alors deux cas :

premier cas : le vent est opposé au mouvement (vent de face). La norme dans la formule est alors égale à v+Vh. La fonction N(v) est alors de la même forme que par vent nul, l'étude qualitative est donc la même. Par conséquent il est préférable de courir le plus vite possible.

deuxième cas : le vent est dans le sens du mouvement (vent de dos). La norme dans la formule vaut alors |v-Vh|. L'étude de cette fonction recèle alors une surprise. Si Vh/ V0L/h, la fonction est décroissante, passe par un minimum pour v=Vh puis devient croissante. Donc dans ce cas le mieux est de courir exactement à la même vitesse que le vent.

A défaut d'aller courir aujourd'hui, vous pourrez plancher toute la journée.....